Titres et résumés

Cours

Evelyne Hubert (INRIA Méditerranée, Nice), Algèbre d'invariants différentiels

  Ce cours se décompose en trois exposés qui couvrent le sujet mais qui seront relativement independants.

I. Algèbre différentielle, extension aux derivations non commutatives

  L'algèbre différentielle, telle que proposée par Ritt et Kolchin, sert de fondement pour le traitement algorithmique des systèmes diférentiels (ordinaires ou aux dérivées partielles) nonlinéaires surdéterminés. L'élimination différentielle, telle qu'implémentée dans la bibliothèque DifferentialAlgebra (et précedemment diffalg), est utile dans plusieurs applications. Les dérivations les plus communes sont celles par rapport aux variables 'indépendantes' et commutent entre elle. Néanmoins certains problèmes s'expriment et se resolve plus facilement avec l'utilisation d'un ensemble de dérivations qui admettent des relations de commutation non triviales. Nous definirons les algèbres de polynômes différentiels dans ce cadre. Ces nouvelles algèbres différentielles permettent d'appréhender l'utilisation des derivations invariantes qui apparaissent dans la construction du repère mobile tel que revu par M. Fels & P. Olver (1999).

II. Invariants différentiels d'un groupe de Lie : générateurs et syzygies.

  Dans cet exposé nous présenterons la construction de M. Fels & P. Olver (1999) des invariants différentiels et des dérivations invariantes pour un groupe de Lie, tel que connu uniquement par ses générateurs infinitésimaux. Nous caractériserons plusieurs ensembles générateurs au sens différentiel et fournirons les relations différentielles qu'ils satisfont. Nous appliquerons les algorithmes d'élimination différentielles pour derivations non commutative afin de réduire l'ensemble des générateurs différentiels dans plusieurs cas d'intérêt.
 
III. Calculs des Invariants (rationnels, algébriques et différentiels)

  Les invariants différentiels sont les invariants 'locaux' de l'action prolongée d'un groupe de Lie. Dans le cas où ce groupe est algébrique, et agit de façon rationnelle, les invariants rationnels peuvent être calculés algorithmiquement. Les invariants différentiels classiques sont des fonctions algébriques de ces invariants, fonctions qu'on détermine par le même calcul. L'algorithme le plus général de calcul d'un ensemble générateurs d'invariants rationnels recourt aux bases de Gröbner. Certaines classes d'actions permettent néanmoins des rafinement très efficaces.

Références :

E. Hubert. Algebraic and Differential Invariants. Foundations of Computational Mathematics, Budapest 2011, London Mathematical Society Lecture Note Series (403), Cambridge University Press (2012).

E. Hubert -Differential Algebra for Derivations with Nontrivial Commutation Rules, Journal of Pure and Applied Algebra. Volume 200, Issues 1-2, August 2005

E. Hubert - Differential invariants of a Lie group action: syzygies on a generating set. Journal of Symbolic Computation, 44:4 pages 382-416 (2009)

E. Hubert & P. Olver - Differential Invariants of Conformal and Projective Surfaces; Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, volume 3 (2007)

E. Hubert & I. Kogan - Smooth and Algebraic Invariants of a Group Action. Local and Global Constructions. Foundations Computational Mathematics. 7:4 pages 345-383 (2007)

E. Hubert & I. Kogan -  Rational Invariants of a Group Action. Construction and Rewriting. Journal of Symbolic Computation, 42:1-2 pages 203-217 (2007).

E. Hubert & G. Labahn -Scaling Invariants and Symmetry Reduction of Dynamical Systems. Foundations Computational Mathematics. 13:4 pages 479-516 (2013)

Marni Mishna (Simon Fraser University), A gentle introduction into analytic combinatorics in several variables

 Analytic combinatorics uses complex analytic techniques to estimate counting functions and other quantities of combinatorial classes. In the univariate case, the most common strategy uses generating functions, and estimates their coefficients using contour integrals. The multivariable case is more subtle, but analogous in many ways. This course will present techniques for determining asymptotic expressions for certain subseries of multivariable rational functions. It will describe how to write combinatorial problems in a form best adapted to these strategies, and the illustrate the techniques via several families of examples. We will consider the question of efficient and effective implementation. The main results are from the 2013 text  “Analytic Combinatorics in Several Variables”, but to keep the course accessible, we will retain a combinatorial perspective throughout.

Guillaume Rond (Aix-Marseille Université), Séries algébriques en plusieurs variables

  The goal of this course is to review some properties of the rings of algebraic power series. While I will try to be the most exhaustive possible, I will concentrate on some particular problems. There will be 3 lectures whose contents are the followings:

- Algebraic power series 1: in this first lecture, I will review some basic algebraic properties of the rings of algebraic power series (i.e. formal power series that algebraic over the polynomials), as the Henselian property, the Weierstrass division theorem... Then I will review quickly the case of univariate algebraic series that are easier to handle. Then I will talk in more details about algebraic series in several indeterminates.

- Algebraic power series 2: in this lecture, I will review some approximation results for such series. I will present some examples of functional equations that have or have not algebraic power series solutions. The examples will be picked from the analytic geometry, combinatorics, or differential equations. I will present general conditions insuring the existence of algebraic power series solutions for such equations.

- Algebraic Laurent series: I will consider Laurent series in several indeterminates and present some results concerning their algebraicity over the ring of formal power series. We will make analogies with two other problems: determining the univariate algebraic power series among the formal power series, and determining the algebraic real numbers among the real numbers.

Julien Roques (Université Lyon 1), Monodromie et groupes de Galois différentiels ou aux différences

  Nous étudierons d'abord les équations différentielles linéaires à points singuliers réguliers sur la droite projective complexe. Nous introduirons notamment la notion de monodromie et énoncerons la correspondance de Riemann-Hilbert. Nous illustrerons nos propos à l'aide des équations différentielles hypergéométriques pour lesquelles des calculs explicites sont possibles. Nous introduirons également la notion de groupe de Galois différentiel et énoncerons le théorème de densité de Schlesinger garantissant la densité de la monodromie dans le groupe de Galois d'une équation différentielle à points singuliers réguliers. Nous expliquerons enfin dans quelle mesure on sait étendre ce qui précède aux équations aux q-différences.

Exposés

Bruno Anglès (Caen), Special Functions and Zeta Values in Positive Characteristic

   For  a curve defined over a finite field and a fixed closed point of that latter curve, David Goss has associated a non archimedean  zeta and L  functions. We will show how a multiple variable generalization of Goss zeta function is intimately connected to certain "special functions" associated to rank one Drinfeld modules. This talk is based on a work in progress  with Floric Tavares Ribeiro and Tuan Ngo Dac.

Moulay Barkatou (Limoges), Linear differential systems with small coefficient: Various types of solvability and their verification

  This talk is based on a recent joint work with Renat Gontsov (from IITP of RAS). We are interested in the problem of solvability, in the Liouvillian sense (or, by generalized quadratures), of linear differential systems with small coefficients. For a general system, this problem is equivalent to that of solvability of the Lie algebra of the differential Galois group of the system. However, the dependence of this Lie algebra on the system coefficients remains unclear. We show that for the particular class of systems with non-resonant irregular singular points that have sufficiently small coefficient matrices, the problem is reduced to that of checking the solvability of the explicit Lie algebra generated by the coefficient matrix of the system. This generalizes the corresponding Ilyashenko--Khovanskii for linear differential systems with Fuchsian singular points. We will present a few examples illustrating the practical verification of our criteria of solvability by using general procedures implemented in Maple.

Mireille Bousquet-Mélou (Bordeaux), Chemins du plan évitant un quadrant

  Depuis maintenant une quinzaine d'années, les chemins du plan confinés dans un quadrant, et les équations fonctionnelles associées, ont fait l'objet de nombreux travaux. La nature des séries génératrices associées (algébrique, différentiellement finie, différentiellement algébrique, ou non) est maintenant bien comprise dans le cas des chemins à petits pas (c'est-à-dire à projection 0, 1 ou -1 sur chaque axe). En 2016, j'ai entrepris un travail analogue pour les chemins évitant un quadrant, c'est-à-dire pour des chemins confinés dans un cône non convexe. De loin, les équations fonctionnelles associées sont  semblables à celles du quadrant. De près, c'est plus dur. Par exemple, le cas de base des pas Nord/Sud/Est/Ouest est aussi difficile que le dénombrement des chemins de Gessel dans une quadrant, un problème resté ouvert une dizaine d'années malgré la simplicité, conjecturale, de sa réponse. Pourtant, quelques expériementations et les premiers résultats peuvent laisser espérer une classification semblable à celle des chemins dans le quadrant. Je présenterai un travail en cours avec Michael Wallner, qui prolonge celui de 2016 pour des pas autres que ceux de la grille carrée.

Frédéric Chyzak (Saclay), Becker's conjecture on Mahler functions

  In 1994, Becker conjectured that if F(z) is a k-regular power series, then there exists a k-regular rational function R(z) such that F(z)/R(z) satisfies a Mahler-type functional equation with polynomial coefficients where the initial coefficient satisfies a_0(z) = 1. In this work, we prove Becker’s conjecture in the best possible form; we show that the rational function R(z) can be taken to be a polynomial z^γ Q(z) for some explicit non-negative integer γ and such that 1/Q(z) is k-regular. This is joint work with Jason P. Bell, Michael Coons, and Philippe Dumas.

Georges Comte (Chambéry), Intégrales oscillantes de fonctions sous-analytiques

  J'expliquerai comment, entre autres, la notion d'applications continûment uniformément distribuées en famille permet de traiter la question de la caractérisation de la plus petite algèbre de fonctions, contenant les fonctions sous-analytiques,  stable par intégration et transformée de Fourier.

Jehanne Dousse (Lyon), Les identités de Capparelli et de Primc

  Une partition d'un entier n est une suite décroissante d'entiers dont la somme est n. Une identité de partitions est un théorème de la forme "pour tout entier n, le nombre de partitions de n satisfaisant certaines conditions est égal au nombre de partitions de n satisfaisant d'autres conditions". Dans les années 80, Lepowsky et Wilson ont établi un lien entre la théorie des représentations et les identités de partitions de Rogers-Ramanujan. D'autres théoriciens des représentations ont ensuite étendu leur méthode, donnant lieu à des nouvelles identités jusqu'alors inconnues des combinatoriciens, telles que l'identité de Capparelli et celle de Primc. Bien que ces deux identités ne semblent pas liées du point de vue de la théorie des représentation, nous montrerons combinatoirement que l'identité de Capparelli est en fait un cas particulier de celle de Primc.

Thomas Dreyfus (Strasbourg), Differential transcendence of solutions of difference equations

  A function is said to be differentially algebraic if it satisfies a non trivial algebraic differential equation. It is said to be differentially transcendent otherwise. Example of differentially transcendent functions are known, for instance, the Gamma function, or the generating series of automatic sequences. All these functions have in common  to satisfy a linear functional equation. In this framework, the difference Galois theory provides tools to prove the differential transcendence of the functions. This strategy has given many recent papers presenting results that get more and more general. In this talk we are going to present a new result for which the hypothesizes are very minimal. This is a joint work with B. Adamczewki and C. Hardouin.

Gwladys Fernandes (Lyon), Relations algébriques entre valeurs de fonctions mahlériennes en caractéristique non nulle

  Soient K un corps de fonctions de caractéristique non nulle et d un entier supérieur ou égal à 2. Une série formelle d’une variable z à coefficients dans K est dite d-mahlérienne si elle vérifie une équation aux différences linéaire selon l’opérateur qui à z associe la puissance d-ième de z. Etant donné.e.s des fonctions d-mahlériennes et w un nombre algébrique sur K, nous présentons dans cet exposé le résultat suivant. Sous certaines hypothèses que nous expliciterons, toute relation algébrique homogène entre les valeurs de ces fonctions au point w provient de la spécialisation en z=w d'une relation algébrique homogène entre ces fonctions elles-mêmes. Lorsque K est un corps de nombres, ce résultat est établi par B. Adamczewski et C. Faverjon, comme conséquence d'un résultat de P. Philippon. Nous tenterons de mettre en avant les connexions existant entre notre contexte de caractéristique non nulle et des domaines variés des mathématiques comme la théorie des automates finis ou des modules de Drinfeld, ainsi que les enjeux et perspectives concernant la compréhension des relations algébriques entre fonctions mahlériennes.

Frédéric Jouhet (Lyon), Transferts d'indépendance algébrique et congruences à la Lucas

  Récemment, Boris Adamczewski et Jason P. Bell et Eric Delaygue ont développé un critère d'indépendance algébrique pour des séries satisfaisant des congruences simples, dites p-Lucas, pour une infinité de nombres premiers p. De nombreuses séries issues de la Combinatoire, de nombreuses G-fonctions classiques satisfont de telles équations. Dans ce travail, nous remarquons que la dérivée f' d'une telle fonction ne satisfait plus des congruences p-Lucas mais des congruences reliant f' à f. Je montrerai comment cette association nous permet de transférer l'indépendance algébrique de G-fonctions à celle de leurs dérivées. Le même principe de transfert sera aussi appliqué non pas aux dérivées mais à des q-déformations des séries initiales. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Boris Adamczewski, Jason P. Bell et Eric Delaygue.

Daniel Vargas-Montoya (Lyon), Structure de Frobenius forte, rigidité et équations hypergéométriques

  Dans un premier temps j'introduirai la notion de la structure de Frobenius forte. Je montrerai ensuite que les équations différentielles fuchsiennes à coefficients dans Q(z), dont le groupe de monodromie est rigide et dont les exposants sont rationnels, possèdent une structure de Frobenius forte pour presque tout nombre premier p. J'appliquerai ce résultat à l'équation hypergéométrique généralisée. Enfin, je montrerai le lien entre l'existence d'une structure de Frobenius forte pour le nombre premier p et l'algébricité modulo p des solutions de l'équation correspondante.

Reem Yassawi (Lyon), Versions quantitatives du théorème de Christol

  Pour une suite a = (a_n)_n à valeurs dans un corps fini F_q, le théorème de Christol établit une équivalence entre q-automaticité de a (a calculable par un automate) et l’algébricité de la série formelle f(x) = sum_n a_n x^n . Dans ce travail nous étudierons le nombre d’états de l’automate en fonction des paramètres du polynôme annulateur minimal de f(x). Andrew Bridy a récemment donné une démonstration du théorème de Christol en utilisant des outils qui proviennent de la géométrie algébrique. Avec cette démonstration il majore le nombre d’états par une borne qui est optimale. Nous obtenons des bornes presque semblables par une démonstration élémentaire, et nous traçons les liens entre notre démonstration et celle de Bridy. Ceci est un travail en commun avec Boris Adamczewski.